医用 (yī yòng) = medical use, for medical purposes
高等 (gāo děng) = higher, advanced
数学 (shù xué) = mathematics
第8版 (dì bā bàn) = 8th edition
吕丹 (Lǚ Dān) = author name
李林 (Lǐ Lín) = author name
第一章 函数和极限
第一章 函数和极限
函数 (hán shù) = function
和 (hé) = and
极限 (jí xiàn) = limit
p 20 , 函数是变量之间相互联系、相互制约关系的抽象表示，
函数 (hán shù) = function
是 (shì) = is, are
变量 (biàn liàng) = variable
之间 (zhī jiān) = between, among
相互 (xiāng hù) = mutual, reciprocal
联系 (lián xì) = connection, relationship, link
相互 (xiāng hù) = mutual, reciprocal (repeated)
制约 (zhì yuē) = constraint, restriction, control
关系 (guān xì) = relationship, relation
的 (de) = possessive particle
抽象 (chōu xiàng) = abstract
表示 (biǎo shì) = representation, expression
是事物运动、变化及相互影响的复杂关系
在数量方面的反映；极限刻画了变量的变化趋势，是研究函数的重要方法 . 本章内容主要包括函数、极
限和函数的连续性等基本概念，以及它们的主要性质 .
第一节 | 函数
函数是微积分的主要研究对象，而微积分学研究的函数主要是在实数集上定义的函数，因此，本
节首先复习与函数概念相关的基本概念，即常量、变量及区间，然后，在此基础上进一步讨论函数 .
一、 函数的概念
函数的概念
定义1-1 设x、y 是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x 的每一个允许的取值，变量y
按照一定的规律总有一个确定的值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数（function），记为
.
此时，变量x 称为自变量（independent variable），y 又称为因变量（dependent variable），自变量的所
有允许值的集合称为函数的定义域（domain of definition）. 函数的定义域通常用区间来表示 . 如果x0
是函数f（x）定义域中的一点，我们也说函数f（x）在x0 点有定义，与x0 对应的因变量的值称为函数
值，记为f（x0），有时也记为 ，即 . 所有函数值的集合称为函数f（x）的值域（domain
of functional value）.
对应规律和定义域是函数概念中的两大要素，两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全
相同时，才被认为是两个相同的函数 . 函数的定义中，对应规律常用记号f 表示，它具有广泛的含义，
其表达方式通常有解析法（公式法）、图像法和表格法；函数的定义域在实际中是由问题的实际意义确
常量与变量
我们经常会遇到各种不同的量，如长度、重量、面积、温度、时间、距离等，其中：有的量在某一现象
或变化过程中始终保持同一数值，称为常量（constant）；有的量在某一现象或变化过程中可取不同的
数值，称为变量（variable）.
一个量究竟是常量还是变量，不是绝对的，要根据具体过程和具体条件来确定 . 即使同一个量，在
某一过程或条件下可以认为是常量，而在另一过程或条件下就可能是变量 . 例如人的身高，在研究少
儿发育成长的过程中是变量，而在研究成人的健康状况时通常是常量 .
常量也可看作是一种特殊的变量，即在某一过程中，该变量都取相同的数值 .
变量的变化范围，也就是变量的取值范围，在取实数值的时候，通常用区间表示 . 满足不等式
a≤x≤b 的实数x 的全体组成一个闭区间，记为［a，b］；满足不等式a<x<b 的实数x 的全体组成一个开
区间（a，b）；而满足不等式a<x≤b（或a≤x<b）的实数x 的全体组成一个半开半闭区间（a，b］（或半闭
半开区间［a，b））；如果变量x 能够取实数轴上所有的数，记为R 或（- ∞， + ∞）.
以x0 为中心，长度为2δ 的开区间 ，称为点x0 的δ 邻域（neighbourhood），记作U .
点x0 称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径 . 在后面章节的讨论中，邻域是常用的一个概念 .